Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles.
A esta función denominada variable aleatoria le voy a meter cualquier elemento que sea del espacio muestral W y me va a devolver un número que va a pertenecer al conjunto de los números reales.
𝐴⊆ℝ: El conjunto A está definido dentro del conjunto de los números reales.
Es decir, a la variable aleatoria le meto un elemento del espacio muestral y tengo como resultado un conjunto imagen donde el cardinal de A es numerable, contable: Entre un elemento del conjunto y otro elemento del conjunto puedo establecer un salto, no es un conjunto denso.
𝑉.𝐴 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎⟹𝑋(subindice 𝑊)→𝐴 #𝐴 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒,𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.
Sea una variable aleatoria discreta, definida sobre un espacio muestral Ω. Se dice que su función de probabilidad cumple las siguientes condiciones:
1) ⋁ 𝑥 ∈𝐴 ∶ 𝑃(𝑥) ≥ 0 ⟹ Para todo valor de x que pertenece a A, es decir, para todos los resultados que obtengo de aplicar la función variable aleatoria a los valores del espacio muestral, se da que la probabilidad de ocurrencia de ese resultado es mayor o igual a cero.
2) Σ 𝑃(𝑥)= 1 ⟹ Los resultados de aplicarle a cada valor del espacio muestral la función variable aleatoria, me va a dar un número. Cada uno de esos números va a ser un x. La probabilidad de ese x va a ser mayor o igual a cero, y la suma de todas las probabilidades va a ser igual a 1.
3) 𝑋∶ Ω→𝐴 / 𝑃∶𝐴 →[ 0 ;1 ] ⟹ Si a la variable aleatoria le metemos elementos del conjunto espacio muestral, voy a obtener como resultado un conjunto numérico. Si a la función de probabilidad le pongo elementos numéricos resultantes de la aplicación de la variable aleatoria voy a tener como resultado un conjunto que va a estar formado por números entre cero y uno.
• Se da para variables discretas
• Es una composición de funciones. Porque toma como dominio la imagen de la variable aleatoria (función anterior).
• Si quiero conocer la probabilidad de que ocurra alguno de los distintos elementos del espacio muestral ( Ver imagenes)
¿Qué nos quiere decir todo esto? La probabilidad de que ocurra cualquier elemento del espacio muestral es 1. Porque en este caso no me importa cuál es el elemento que ocurra, solo me importa que ocurra alguno.
Una variable aleatoria es continua si su recorrido es un conjunto no numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos como caso, 0 y 2,50 m, es posible.
𝑋(subindice 𝑊)→(𝑎;𝑏) 𝑐𝑜𝑛 (𝑎;𝑏)⊆ℝ --> Este subconjunto proviene de procesos de medición. Es un conjunto denso, no puedo realizar un salto discreto.
Condiciones de la función de densidad:
1) Va a ser estrictamente no negativa. 𝑓(𝑥) ≥ 0
2) (Imagen). Cuando aplico la integral desde α hasta β tiene que ser igual a 1.
α : Límite inferior del dominio.
β : Límite superior del dominio.
(Los limites del dominio pueden ir desde -∞ a +∞).
Significado de la notación: Le aplico la V.A a un determinado elemento del espacio muestral y eso me devuelve un resultado “a” tal que “a” es un numero real.
Significado de la notación: La probabilidad de encontrar un valor exacto es nula.
Significado de la notación: La probabilidad de que x este entre “a” y “b” va a ser igual a la integral definida entre a y b de la función de densidad.
Lo que hace la función de densidad es decirme de qué manera se forma la superficie debajo de la curva. La integral la utilizamos porque justamente me permite calcular el área debajo de esa curva que representa la función definida entre 0 y 3.
La función de distribución acumulada para variables aleatorias discretas es igual a la suma de todas las probabilidades para y ≤ x.
La función de distribución acumulada para variables aleatorias continuas es igual a la integral de la función de densidad con y ≤ x
La función de distribución acumulada barre desde el límite inferior del dominio hasta el límite del valor que yo quiera.
Siempre que evalúe la función de acumulación desde el límite inferior del dominio hasta el limite superior del dominio el resultado va a ser igual a 1.
Por lo tanto:
• Si yo quisiese evaluar la función en el limite inferior del dominio, esta función de acumulación va a tender a cero.
𝐹( 𝐿𝐼𝑀 𝐼𝑁𝐹 𝐷𝑂𝑀 𝑓(𝑥))→0
• Si yo quiero evaluar la función en un valor cercano al límite superior del dominio de f(x) esto va a tender a uno.
𝐹( 𝐿𝐼𝑀 𝑆𝑈𝑃 𝐷𝑂𝑀 𝑓(𝑥))→1
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Diego Parrás
Aldana Tedesco